Problema: Ang Limitasyon sa Lamesa
Usa ka $10 nga Martingale sa lamesa nga $500. Unsa ka kanunay kini mabuak, pila ang mapildi kon mabuak, ug makatabang ba ang pagpataas sa limitasyon?
Unom ka sunod-sunod nga pildi ang mobuak niini: 1.8% matag siklo, mga 60% sa mga sesyon nga 100 ka tuyok. Ang pagkabuak nagkantidad og $630. Ang pagpataas sa limitasyon ngadto sa $5,000 mohimo nga mas talagsa ang pagkabuak (0.25% matag siklo) ug mas dako ($5,110). Ang gidahom nga kapildihan matag dolyar nga gipusta 2.70% sa bisan unsang limitasyon.
Ang problema
Ang usa ka magdudula mopusta og $10 sa pulapustaPulaEven-money nga pusta sa 18 ka pula nga numero. Sa Pranses: rouge.Basaha tanan → ug modoble human sa matag pildi, mobalik sa sinugdanan human sa daog. Ang maximum sa lamesa $500. (a) Pila ka sunod-sunod nga pildi ang mobuak sa progresyonestratehiyaProgresyonBisan unsang lagda nga mag-usab sa pusta base sa miaging mga resulta. Ang negatibo nga mga progresyon mopataas niini human sa pildi, ang positibo human sa daog.Basaha tanan →? (b) Unsa ang probabilidadmatematikaProbabilidadTsansa sa usa ka resulta, gikan sa 0 hangtod 1 o 0% hangtod 100%. Usa ka numero: 1/37 = 2.70%.Basaha tanan → matag siklo? (c) Pila ang mapildi sa pagkabuak? (d) Giunsa pag-usab sa $5,000 nga limitasyon ang mga tubag? (e) Aduna bay limitasyon nga mohimo nga makaganansya ang sistema?
Mga solusyon (a)–(c)
Mga pusta: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Ang ikapito 640 > 500, busa unom ka pildi ang mobuak niini. (b) p(pildi) = 19/37 sa pula; (19/37)⁶ = 0.0183, mga 1.8% matag siklo. Ang usa ka siklo molungtad og mga duha ka tuyok sa average, busa ang sesyon nga 100 ka tuyok adunay mga 50 ka siklo ug p(labing menos usa ka pagkabuak) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, nga 63 ka base nga yunitkwartaYunitAng base nga pusta nga gigamit sa usa ka sistema o magdudula. Ang mga progresyon gihulagway sa mga yunit aron magamit kini sa bisan unsang lamesa.Basaha tanan →, batok sa $10 nga gisulayan nga madaog sa siklo.
Solusyon (d)
Sa $5,000: gitugotan ang mga pusta hangtod 2,560; ang ikanapulo nga pusta, 5,120, gibalibaran. Siyam ka pildi ang mobuak niini: (19/37)⁹ ≈ 0.25% matag siklo, mga 11% sa mga sesyon nga 100 ka tuyok. Kapildihan sa pagkabuak: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. Ang magdudula nakapalit og mas talagsaon nga katalagman sa presyo sa mas dako. Sulod sa daghang sesyon ang gidahom nga gasto sa mga pagkabuak kay p × kapildihan ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 matag siklo sa $500 nga limitasyon ug 0.0025 × 5,110 = $12.8 sa $5,000; kini, sulod sa pag-round, parehas nga numero, ug kini ang gidahom nga kapildihanmatematikaGidahom nga kapildihanAng gidahom nga bili gipadaghan sa tibuok kantidad nga gipusta; ang average nga kantidad nga mapildi sulod sa usa ka sesyon o usa ka yugto.Basaha tanan → sa siklo dugang ang $10 nga makuha sa mga nidaog nga siklo.
Solusyon (e)
Wala. Gidahom nga kapildihan matag siklo = (gidahom nga kinatibuk-ang pusta sa siklo) / 37, sa bisan unsang limitasyon, tungod kay ang matag pusta −1/37 sa kaugalingon. Ang limitasyon mohukom lang kon giunsa pagbahin ang kapildihan tali sa daghang gagmay nga daog ug pipila ka dagkong pildi. Kon walay limitasyon ug walay kinutuban ang pundo sa dulakwartaPundo sa dulaAng tibuok kantidad nga gigahin alang sa pagdula. Ang pagdumala sa pundo sa dula mao ang pagdesisyon kon pila niini ang irisgo matag pusta ug matag sesyon.Basaha tanan → ang progresyon “molihok”, sa kahulogan nga dili gayud kini mabuak, ug mopusta usab kini og walay utlanan nga kantidad nga adunay gidahom nga kapildihan nga 2.70% sa maong walay utlanan nga kantidad. Dili ang limitasyon sa lamesalamesaLimitasyon sa lamesaMinimum ug maximum nga pusta nga gitugotan. Ang maximum mao ang mopahunong sa mga progresyon nga nagdoble.Basaha tanan → ang nagpugong sa MartingaleestratehiyaMartingaleProgresyon nga modoble sa pusta human sa matag pildi. Tan-awa ang seksyon sa Estratehiya kon unsay mahimo ug dili mahimo niini.Basaha tanan → sa paglihok. Ang aritmetika mao.
Duha ka tinuod nga lamesa
Ang pananglitan ni Thorp usa ka $1 nga lamesa nga adunay $1,000 nga maximum, diin ang magdudula naglaum nga makadaog og $30 para sa panihapon usa ka dolyar matag higayon. Ang mga pusta nga 1, 2, 4 … 512 motugot og napulo ka pusta, busa ang napulo ka sunod-sunod nga pildi mobuak sa progresyon: kausa sa 785 ka siklo sa Uropanhon nga ligid (kausa sa 613 sa Amerikano), sa gasto nga $1,023. Ang traynta ka siklo molampos tanan 96.2% sa panahon. Ang laing 3.8% mapildi og mga $1,000, ug ang average nga resulta sa gabii −$9.17, nga eksaktong 1/37 sa $339 nga gipusta sa traynta ka siklo sa average. Ang $5 nga lamesa nga adunay $2,000 nga maximum walay kalainan: ang mga pusta hangtod $1,280 motugot og siyam ka pusta, ug ang pagkabuak moabot kausa sa 403 ka siklo sa Uropanhon nga ligid (kausa sa 323 sa Amerikano) ug nagkantidad og $2,555.
Usa ka adunahan nga magdudula
Hatagi ang progresyon og lawom nga pundo imbes ubos nga limitasyon: 1,000 ka yunit, usa ka yunit nga base ug 1,000 ka tuyok sa pula, magsugod pag-usab sa usa ka yunit matag higayon nga ang sunod nga doble labaw pa sa nahibilin. Nag-simulate kami og usa ka milyon nga ingon niana nga gabii. Sa Uropanhon nga ligid 52% ang mahuman nga nag-una, 21% ang mapildi sa tanan, ug ang average nga resulta −124 ka yunit. Bisan sa dula nga walay seroligidSeroAng usa ra ka berde nga bulsa nga walay even-money, dosena o kolum nga pusta ang motabon; ang gigikanan sa bentaha sa casino. Gitawag usab: single zero, 0.Basaha tanan →, diin patas ang matag pusta, mga 60% ra ang mahuman nga nag-una. Ang naandan nga gabii usa ka gamay nga daog; ang average gibayran sa mga gabii nga mahuman sa sero.
Ang leksyon
Ang mga casino nagbutang og limitasyon aron limitahan ang ilang kaugalingong variancematematikaVarianceSukod kon unsa kalapad mokatag ang mga resulta palibot sa gidahom nga bili. Taas alang sa pusta sa usa ka numero, ubos alang sa even-money nga mga pusta.Basaha tanan →, dili aron pildihon ang mga sistema. Ang pagpildi sa Martingale usa ka side effect nga malipayon silang adunay, ug pildihon man kini sa aritmetika. Ang magdudula nga nagtuo nga ang limitasyon ang problema nakit-an ang pangpang ug nasayop nga kini ang bakilid.
Pormula
Mga pangutana
Tugotan ka niini nga molahutay hangtod sa mas taas nga limitasyon, diin mas talagsa ug mas dako ang pagkabuak. Ang gidahom nga kapildihan matag dolyar walay kausaban.
Mga pusta 10, 30, 70, 150, 310: maigo ang $500 nga limitasyon human sa lima ka pildi, ug ang pagkabuak nagkantidad og $570. Parehas nga 2.70%.
Aron ang usa ka magdudula dili makapusta og labaw sa makomportable nga mabayran sa reserba sa casino. Pagdumala sa variance.
Lingaw sa Matematika
Sulayi una kini sa imong kaugalingon. Ang matag solusyon gitakpan; ablihi kini kon andam na ka.
Ang MartingaleestratehiyaMartingaleProgresyon nga modoble sa pusta human sa matag pildi. Tan-awa ang seksyon sa Estratehiya kon unsay mahimo ug dili mahimo niini.Basaha tanan → magsugod sa $100 sa pulapustaPulaEven-money nga pusta sa 18 ka pula nga numero. Sa Pranses: rouge.Basaha tanan → ug motugot sa kaugalingon og labing daghan n ka pusta matag siklo: human sa n ka sunod-sunod nga pildi mohunong kini ug magsugod pag-usab. Isulat ang average nga resulta sa usa ka siklo isip pormula sa n, ug kuwentaha kini alang sa 5, 6 ug 7 ka pusta sa Uropanhon nga ligid.
Ipakita ang solusyon
Tubag Ang average 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 alang sa 5 ka pusta, −$17.35 alang sa 6 ug −$20.52 alang sa 7. Ang pagtugot og mas daghang pusta mopadaotan sa average nga siklo, dili mopaayo.
Ang siklo modaog og $100 gawas kon mapildi ang tanang n ka pusta, nga mahitabo uban ang tsansa nga qⁿ, diin q = 19/37. Kon mapildi silang tanan, ang mga pusta nga 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ magdugang ngadto sa 100 × (2ⁿ − 1). Busa ang average 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Dinhi 2q = 38/37, gamay nga labaw sa 1, busa ang (2q)ⁿ motubo uban ang n ug ang average mous-os: n = 5 mohatag og 1.1426 ug −$14.26; n = 6 mohatag og 1.1735 ug −$17.35; n = 7 mohatag og 1.2052 ug −$20.52. Ang mas taas nga hagdan mas talagsa mapildi, sa 3.6%, 1.8% ug 0.9% sa mga siklo, apan ang matag pildi doble ka dako, ug mas daghang kwarta ang motabok sa lamesa matag siklo, sa 2.70% sa matag pusta.
Sa Amerikano nga ligid 2q = 40/38 ug ang mga numero −$29.24, −$36.04 ug −$43.20 (Taylor, 2021). Sa dula nga walay seroligidSeroAng usa ra ka berde nga bulsa nga walay even-money, dosena o kolum nga pusta ang motabon; ang gigikanan sa bentaha sa casino. Gitawag usab: single zero, 0.Basaha tanan → 2q = 1, ug ang matag siklo adunay average nga eksakto nga sero bisan unsa ka taas ang hagdan.
Ang “grand Martingale” modoble sa pusta human sa pildi ug modugang og usa ka yunitkwartaYunitAng base nga pusta nga gigamit sa usa ka sistema o magdudula. Ang mga progresyon gihulagway sa mga yunit aron magamit kini sa bisan unsang lamesa.Basaha tanan →, busa ang mga pusta mahimong 1, 3, 7, 15, 31 … Pila ang imong ganansya kon ang unang daog moabot sa ika-1, ika-2, ika-3 o ika-k nga pusta? Sa $10 nga yunit ug $500 nga maximum, unsa ka kanunay mabungkag ang siklo, ug pila ang gasto sa usa ka siklo sa average?
Ipakita ang solusyon
Tubag Ang daog sa ika-k nga pusta mobilin kanimo og k ka yunit nga ganansya: +1, +2, +3 ug uban pa. Sa $10 ug $500 ang siklo mabungkag human sa lima ka pildi, 3.57% sa mga siklo, alang sa −$570. Sa average ang siklo mapildi og $2.32 sa $85.73 nga gipusta: 2.70%.
Ang ika-k nga pusta 2ᵏ − 1 ka yunit: 1, 3, 7, 15, 31. Ang unang k − 1 ka pusta magdugang ngadto sa 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Ang daog sa ika-k nga pusta mobayad og 2ᵏ − 1, busa ang siklo mahuman nga (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k ka yunit nga ganansya: usa ka dugang yunit alang sa matag pildi una ang daog.
Sa $10 matag yunit ang mga pusta $10, $30, $70, $150 ug $310; ang sunod, $630, labaw sa $500 nga maximum. Lima ka sunod-sunod nga pildi, (19/37)⁵ = 3.57%, mogasto og 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Average: ang mga daog modala og $10 × k uban ang tsansa nga (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 alang sa k = 1 hangtod 5, ug ang pagkabungkag mokuha og $570 uban ang tsansa nga 3.57%; tingub −$2.32. Ang kwarta nga gipusta adunay average nga $85.73 matag siklo, ug 2.32/85.73 = 2.70%. Ang ordinaryo nga Martingale sa samang lamesa mabungkag human sa unom ka pildi, 1.83% sa mga siklo, alang sa −$630, ug mapildi og $1.74 sa $64.20 nga gipusta: 2.70% pag-usab.
Usa ka magdudula nagplano og Martingale sa pula uban ang $1 nga unang pusta sa lamesa kansang limitasyon $1,000, busa napulo ka pusta ang posible: $1, $2, $4 ug uban pa hangtod sa $512. Unsa ka kanunay mapildi sa siklo ang tanang napulo, unsa ka dugay kana sa average, ug unsa ka kanunay ang gabii nga 200 ka pusta mahuman nga ingon niana?
Ipakita ang solusyon
Tubag Ang siklo mapildi sa tanang napulo mga kausa sa 784, nga mogasto og $1,023. Kana mga 1,600 ka pusta sa average, ug ang gabii nga 200 ka pusta maigo sa pader mga 11% sa panahon. Ang siklo mapildi gihapon og $0.31 sa average sa $11.31 nga gipusta: 2.70%.
Ang pusta sa pula mapildi uban ang tsansa nga 19/37, apil ang sero. Napulo nga sunod-sunod: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, mga 1 sa 784. Ang mga pusta nga 1 + 2 + 4 + … + 512 magdugang ngadto sa $1,023.
Ang siklo mokuha og 2.05 ka pusta sa average, busa ang 784 ka siklo mokuha og mga 1,600 ka pusta. Kon ihapon tuyok matag tuyok, ang sunod-sunod nga napulo ka pildi motungha bisan asa sa 200 ka pusta 11.3% sa panahon.
Taliwala sa mga katalagman ang magdudula modaog og $1 matag siklo: mga $783 una ang daotan, unya −$1,023, mga −$240 sa tibuok gitas-on. Matag siklo: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. Kwarta nga gipusta matag siklo: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. Ug −0.31/11.31 = −2.70%.
Itandi ang $10 nga unang pusta sa $500 nga limitasyon, unom ka pusta: ang pader moabot kausa sa 55 ka siklo, ug ang gabii nga 200 ka pusta makasugat niini 84% sa panahon. Ang mas taas nga limitasyon mohimo sa pagkapukan nga mas talagsa ug mas dako, dili mas barato.
Komiks nga pahulay
Mas talagsa ug mas dako, sa matag limitasyon. Ang produkto pirmi.
Mga Tinubdan
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.